コンピュータグラフィックの世界 ～ フラクタル
フラクタル (仏fractale) は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロ (Beno?t Mandelbrot) が導入した幾何学の概念。図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう。フラクタルの具体的な例としては海岸線の形などが挙げられる。海岸線は巨視的にみると複雑に入り組んだ形状をしているが、これを拡大するとさらに細かい形状が見えてくるようになり、結果として拡大しても同じように複雑に入り組んだ形状をしている。これに対して、一般的な図形は、拡大するにしたがって、その細部は変化が少なくなり、なめらかな形状になっていく。そして、海岸線の長さを測ろうとする場合、より小さいものさしで測れば測るほど、大きなものさしでは無視されていた微細な凹凸が測定されるようになり、その測定値は長くなっていく。したがって、このような図形の長さは無限であると考えられる。これは、実際問題としては、分子の大きさ程度よりも小さいものさしを用いることは不可能だが、理論的な極限としては測定値が無限大になるということである。このような図形を評価するために導入されたのが、整数以外の値にもなるフラクタル次元である。フラクタル次元は、数学的に定義された図形などでは、厳密な値が算出できることもあるが、前述の海岸線などの場合は、フラクタル次元自体が測定値になる。つまり、比較的なめらかな海岸線では、フラクタル次元は線の次元である1近い値となり、リアス式海岸などの複雑な海岸線では、それよりは大きな値となり、その値により図形の複雑さが分かる。なお、実際の海岸線のフラクタル次元は1.1～1.4程度である。海岸線の形、山の形、枝分かれした樹木の形などの3次元空間内に存在するもののフラクタル次元は、0より大きく3以下の値になるが、数学的にはさらに高次の次元を持つものも考えられる。この様な図形のほとんどは分数（fraction、フラクション）の次元を持ったフラクタルな図形と呼ばれる。ただし、実際には、フラクタル次元は、分数になるというよりは無理数になる。また、中には整数の次元を持つものもある。その例としてはマンデルブロ集合の周があり、これは曲線でありながら2次元である。